Question

過(guò)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F作一直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與QF的長(zhǎng)分別p、q，則

1

p

+

1

q

是否為定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P，Q在x軸上的射影分別為M，N，求出左準(zhǔn)線方程，P，Q在準(zhǔn)線上的射影分別為：P'，Q'，再由橢圓的第二定義，推出焦半徑公式，再求倒數(shù)和，注意化簡(jiǎn)整理，結(jié)合離心率公式，a，b，c的關(guān)系，即可得到定值．

解答： 解：

1

p

+

1

q

為定值

2a

b2

．
證明如下：設(shè)P，Q在x軸上的射影分別為M，N，
左準(zhǔn)線方程：x=-

a2

c

，P，Q在準(zhǔn)線上的射影分別為：P'，Q'．
設(shè)∠PFM=θ，則FM=pcosθ，F(xiàn)N=qcosθ，
由于e=

PF

PP′

，則PF=e（

a2

c

+x_P）=a+ex_P=a+e（pcosθ-c）=p，
解得，p=

a-ec

1-ecosθ

，
由于e=

QF

QQ′

，則QF=e（

a2

c

+x_Q）=a+ex_Q=a+e（-qcosθ-c）=q，
解得，q=

a-ec

1+ecosθ

，
則有

1

p

+

1

q

=

1-ecosθ+1+ecosθ

a-ec

=

2

a-ec

=

2

a- c2 a

=

2a

b2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)和定義，考查橢圓的焦半徑公式和離心率公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算和化簡(jiǎn)整理能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．