Question

廈門市為了做好新一輪文明城市創(chuàng)建工作，進一步增強市民的文明意識，在市區(qū)公共場所張貼了各種文明公約．有關(guān)部門為了了解市民對公約的熟知程度，對下面兩個問題進行了調(diào)查：
問題一：乘坐公交車時，乘客應(yīng)遵守哪些道德行為？
問題二：在公共場所，市民應(yīng)注意哪些禮儀？
調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下（被調(diào)查者至少回答兩個問題中的一個）：

年齡段	問題一		問題二
	回答正確人數(shù)	占本組人數(shù)的頻率	回答正確人數(shù)	占本組人數(shù)的頻率
[10，20）	15	c	10	0.5
[20，30）	15	a	12	0.4
[30，40）	28		24
[40，50）	30	0.6	b	0.8
[50，60）		0.9	42

已知同一年齡段中回答問題一與問題二的人數(shù)是相同的．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）為使活動得到市民更好的配合，調(diào)查單位采取如下鼓勵措施：正確回答問題一者獎勵價值20元的禮物；正確回答問題二者獎勵價值30元的禮物；有一家庭的兩成員（大人42歲，孩子13歲）參與了此項回答．已知他們都回答了一個問題，并且所回答的問題是不同的，若將頻率近似值看作概率，問這個家庭獲得禮物價值的數(shù)字期望最大是多少？

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布表

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由題意，同一年齡段中回答問題一與回答問題二的人數(shù)是相同的，從而

30

0.6

=

b

0.8

，且

15

a

=

12

0.4

，由此能求出a，b的值．
（Ⅱ）由表知：

15

c

=

10

0.5

，解得c=

3

4

，42歲大人回答問題一、二的正確率分別為

3

5

，

4

5

，13歲孩子回答問題一、二的正確率分別為

3

4

，

1

2

，由此能求出這個家庭獲得禮物價值的數(shù)字期望最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，同一年齡段中回答問題一與回答問題二的人數(shù)是相同的，
∴

30

0.6

=

b

0.8

，且

15

a

=

12

0.4

，
解得a=

1

2

，b=40．
（Ⅱ）由表知：

15

c

=

10

0.5

，解得c=

3

4

，
∴42歲大人回答問題一、二的正確率分別為

3

5

，

4

5

，
13歲孩子回答問題一、二的正確率分別為

3

4

，

1

2

，
（i）當(dāng)大人回答第一個問題，小孩回答第二個問題時，
記這個家庭所獲獎品價值為ξ元，
則ξ的可能取值為0，20，30，50，
P（ξ=0）=（1-

3

5

）（1-

1

2

）=0.2，
P（ξ=20）=

3

5

(1-

1

2

)=0.3，
P（ξ=30）=（1-

3

5

）×

1

2

=0.2，
P（ξ=50）=

3

5

×

1

2

=0.3，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	20	30	50
P	0.2	0.3	0.2	0.3

Eξ=0×0.2+20×0.3+30×0.2+50×0.3=27．
（ii）當(dāng)小孩回答第一個問題，大人回答第二個問題時，
設(shè)這個家長所獲獎品價值為η元，
 則η的可能取值為0，20，30，50，
P（η=0）=（1-

3

4

）（1-

4

5

）=0.05，
P（η=20）=

3

4

×(1-

4

5

)=0.15，
P（η=30）=（1-

3

4

）×

4

5

=0.2，
P（η=50）=

3

4

×

4

5

=0.6．
∴Eη=0.05×0+0.15×20+0.2×30+0.6×50=39．
∴這個家庭獲得禮物價值的數(shù)字期望最大39元．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法與應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，是中檔題．