Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x∈[-1，1]}\\{x，x∈[1，π]}\\{sinx，x∈[π，3π]}\end{array}\right.$，求f（x）在區(qū)間[-1，3π]上的定積分．

Answer 1

分析 本題考查求分段函數(shù)求定積分，利用奇函數(shù)的性質(zhì)，求得${∫}_{-1}^{3π}$f（x）dx的值．

解答 解：${∫}_{-1}^{3π}$f（x）dx=${∫}_{-1}^{1}$x³dx+${∫}_{1}^{π}$xdx+${∫}_{π}^{3π}$sinxdx
∴${∫}_{-1}^{3π}$f（x）dx=$\frac{1}{4}{x}^{4}$${丨}_{-1}^{1}$+$\frac{1}{2}$x2${丨}_{1}^{π}$+0，
=0+$\frac{{π}^{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$+0，
=$\frac{{π}^{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{{π}^{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求分段函數(shù)的定積分及定積分的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．