Question

5．如圖，已知中心在原點(diǎn)O、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C′過(guò)點(diǎn)M（2，1），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，拋物線C頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸且過(guò)點(diǎn)M．
（1）求橢圓C′的方程和拋物線C的方程．
（2）斜率為-$\frac{1}{4}$的直線l不過(guò)M點(diǎn)，與拋物線C交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，求證：直線MA，MB與x軸總圍成等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）首先設(shè)圓錐曲線的方程，進(jìn)一步根據(jù)已知條件利用待定系數(shù)法求出結(jié)果．
（2）利用直線和圓錐曲線的關(guān)系建立方程組，進(jìn)一步利用根和系數(shù)的關(guān)系，利用直線的斜率建立方程最后求出k_MA+k_MB=0，從而得到結(jié)論．

解答 17．解（1）已知中心在原點(diǎn)O、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C′過(guò)點(diǎn)M（2，1），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以：設(shè)橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
則：$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1\\ \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}\end{array}\right.$
解得：a²=8，b²=2，
橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$
拋物線C頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸且過(guò)點(diǎn)M．
所以設(shè)拋物線的方程為：y²=2px（p＞0），把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線方程得到：${y}^{2}=\frac{1}{2}x$．
（2）設(shè)$l：y=-\frac{1}{4}x+b（b≠\frac{3}{2}）A（{x_1}，{y_1}）B（{x_2}，{y_2}）$
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{4}x+b\\{y}^{2}=\frac{1}{2}x\end{array}\right.$
得到：$\frac{1}{8}{x^2}-（b+1）x+2{b^2}=0$，
所以：x₁+x₂=8（b+1），${x}_{1}{x}_{2}=16^{2}$（1）
所以$\begin{array}{c}\\ \begin{array}{\;}{k}_{MA}+{k}_{MB}=\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}=\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-2）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}\end{array}\right.\end{array}\right.$
=$\begin{array}{\;}\frac{（-\frac{1}{4}{x}_{1}+b-1）（{x}_{2}-2）+（-\frac{1}{4}{x}_{2}+b-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}\end{array}\right.$
=$\frac{-\frac{1}{2}{x}_{1}{x}_{2}+（b-\frac{1}{2}{）（x}_{1}+{x}_{2}）-4（b-1）}{{x}_{1}{x}_{2}-2{（x}_{1}+{x}_{2}）+4}$

將（1）式代入上式得到：k_MA+k_MB=0，
即直線MA與MB關(guān)于直線x=2對(duì)稱．所以直線MA，MB與x軸總圍成等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：利用條件求圓錐曲線的方程，利用待定系數(shù)法求出結(jié)果，一元二次方程和根和系數(shù)的關(guān)系式的應(yīng)用．