Question

2．已知函數(shù)f（x）=（a-1）lnx-$\frac{1}{2}$x²，若?x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． （-∞，-1]
• C． （-∞，1]
• D． [-1，+∞）

Answer 1

分析 由不等式的f（x）的單調性，再求導，得到導函數(shù)恒大于等于0，再確定a的范圍．

解答 解：∵x₁≠x₂，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，
∴f（x）為增函數(shù)，
∵f（x）=（a-1）lnx-$\frac{1}{2}$x²，
∴f（x）定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{a-1}{x}$-x=$\frac{a-1-{x}^{2}}{x}$，
f′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≥1+x²，
∴a≥1，
故選A．

點評 本題考查函數(shù)單調性的兩種判定方法：定義法和導函數(shù)法．