Question

18．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ax，g（x）=1-e^x（a為常數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性
（Ⅱ）證明：當x＞0且a≤2時，函數(shù)f（x）的圖象恒在g（x）的圖象上方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-ax+e^x-1，利用導(dǎo)數(shù)證明h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且求得h（0）=0得答案．

解答 （Ⅰ）解：∵函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ax，x＞-1；
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-a，
當a≤0時，f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-a＞0，
f（x）在定義域（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
當a＞0時，令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{a}$-1，
∴x∈（-1，$\frac{1}{a}$-1）時，f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)，
x∈（$\frac{1}{a}$-1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)．
綜上，a≤0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，+∞），
a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，$\frac{1}{a}$-1），單調(diào)減區(qū)間是（$\frac{1}{a}$-1，+∞）；
（Ⅱ）證明：令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-ax+e^x-1，
則h′（x）=$\frac{1}{x+1}+{e}^{x}-a$，
當x＞0且a≤2時，e^x＞x+1，
∴h′（x）=$\frac{1}{x+1}+{e}^{x}-a$＞$\frac{1}{x+1}+x+1-a＞2-a≥0$．
故h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
即h（x）＞h（0）=0．
∴f（x）-g（x）＞0，f（x）＞g（x）．
故當x＞0且a≤2時，函數(shù)f（x）的圖象恒在g（x）的圖象上方．

點評 本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與分類討論思想思想方法，是中檔題．