Question

5．在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}t}{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)．
（1）寫(xiě)出曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程和直線(xiàn)l的普通方程
（2）求弦長(zhǎng)|MN|的值．

Answer 1

分析 （1）將極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出曲線(xiàn)C的直角方程；將直線(xiàn)的參數(shù)方程兩式相減消去參數(shù)t即得直線(xiàn)l的普通方程；
（2）將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程，得到M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)，使用根與系數(shù)得關(guān)系得出MN的長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵ρsin²θ=4cosθ，∴ρ²sin²θ=4ρcosθ，∴曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為y²=4x．
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}t}{2}}\end{array}\right.$，∴x+2=y+4，即x-y-2=0．∴直線(xiàn)l的普通方程是x-y-2=0．
（2）將l的參數(shù)方程代入y²=4x得（-4+$\frac{\sqrt{2}}{2}t$）²=4（-2+$\frac{\sqrt{2}}{2}t$），即t²-12$\sqrt{2}$t+48=0，
∴t₁+t₂=12$\sqrt{2}$，t₁t₂=-48．
∴|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（12\sqrt{2}）^{2}+4×48}$=4$\sqrt{30}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．