Question

3．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，右準(zhǔn)線方程為x=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l是圓O：x²+y²=r²上動點P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）處的切線，l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，是否存在實數(shù)r使得∠AOB始終為90°．若存在，求出r的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用離心率為$\sqrt{3}$，右準(zhǔn)線方程為x=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，列出方程組，求出a，c，b，即可求解雙曲線的方程．
（Ⅱ）點P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）在圓x²+y²=r²上，得到切線方程，與雙曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合向量的數(shù)量積，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{a^2}{c}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}}\\{\frac{c}{a}=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，解得$a=1，c=\sqrt{3}$，
∴b²=c²-a²=2，∴所求雙曲線C的方程為${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$．…..（4分）
（Ⅱ）點P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）在圓x²+y²=r²上，
圓在點P（x₀，y₀）處的切線方程為$y-{y_0}=-\frac{x_0}{y_0}（x-{x_0}）$，
化簡得$x{x_0}+y{y_0}={r^2}$．…..（5分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-\frac{y^2}{2}=1}\\{x{x_0}+y{y_0}={r^2}}\end{array}}\right.$消去y得$（2y_0^2-x_0^2）{x^2}+2{r^2}{x_0}x-{r^4}-2y_0^2=0$①$（2y_0^2-x_0^2）{y^2}-4{r^2}{y_0}y+2{r^4}-2x_0^2=0$②…..（8分）
若存在實數(shù)r 使得∠AOB始終為90⁰則有$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=0$，
而${x_1}{x_2}=\frac{{-{r^4}-2y_0^2}}{2y_0^2-x_0^2}$，${y_1}{y_2}=\frac{{2{r^4}-2x_0^2}}{2y_0^2-x_0^2}$又$x_0^2+y_0^2={r^2}$，
x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{-{r^4}-2y_0^2}}{2y_0^2-x_0^2}+$$\frac{{2{r^4}-2x_0^2}}{2y_0^2-x_0^2}$=$\frac{{{r^4}-2{r^2}}}{2y_0^2-x_0^2}$=0，
$r=\sqrt{2}$…..（10分）
而$r=\sqrt{2}$時①化為$（3x_0^2-4）{x^2}-4{x_0}x+8-2x_0^2=0$，x₀y₀≠0，
$0＜x_0^2＜2$，
$△=16x_0^2-4（3x_0^2-4）（8-2x_0^2）＞0$，
綜上所述存在$r=\sqrt{2}$使得∠AOB始終為90°…..（12分）

點評 本題考查雙曲線方程的求法，直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用．考查存在性問題的求解方法，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．