Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$，設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（c）=0，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）與向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共線，求a，b．

Answer 1

分析 利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，根據(jù)正弦定理和已知等式求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而利用余弦定理求得a，則b可求．

解答 解：∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
∴f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，
∴sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
由C為三角形內(nèi)角，
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
又∵向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）與向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共線，
∴sinB-2sinA=0，即b=2a，
則c²=a²+b²-2abcosC，即3=a²+4a²-4a²×$\frac{1}{2}$，
解得：a=1，b=2

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用．要求學(xué)生對諸如二倍角公式，兩角和公式三角函數(shù)性質(zhì)和圖象等知識能熟練掌握．