Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，其中$\overrightarrow{a}$=（2sin（$\frac{π}{4}$+x），cos2x）．$\overrightarrow$=（sin（$\frac{π}{4}$+x），-$\sqrt{3}$），x∈R，
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若關(guān)于x的方程f（x）-m=2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二倍角公式和兩角差的正弦公式，化簡可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）運(yùn)用正弦函數(shù)的周期公式和單調(diào)增區(qū)間，解不等式即可得到所求；
（Ⅲ）由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得f（x）在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上的值域，即為m+2的范圍，解不等式即可得到所求．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}$=（2sin（$\frac{π}{4}$+x），cos2x）．$\overrightarrow$=（sin（$\frac{π}{4}$+x），-$\sqrt{3}$），
則f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2sin²（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2x
=1-cos（2x+$\frac{π}{2}$）-$\sqrt{3}$cos2x=1+sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
（Ⅱ）f（x）的周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z；
（Ⅲ）由x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
可得2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
則f（x）的值域?yàn)閇2，3]，
由m+2∈[2，3]，
可得m∈[0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二倍角公式的運(yùn)用和兩角差的正弦公式，同時(shí)考查正弦函數(shù)的周期和單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．