Question

10．表面積為24π的圓柱，當其體積最大時，該圓柱的底面半徑與高的比為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設圓柱的高為h、底面半徑為r，根據(jù)圓柱的表面積S=24π，可得h=12-r²，構造V關于r的函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)想最值，并求V取到最大值時rh的值，可得答案．

解答 解：設圓柱的高為h、底面半徑為r，
則圓柱的表面積S=2πr²+2πrh=24π，即r²+rh=12⇒rh=12-r²，
∴V=πr²h=πr（12r²）=π（12r-r³），
V′=π（12-3r²）=0⇒r=2
∴函數(shù)V=πr²h=πr（12-r²）=π（12r-r³），在區(qū)間（0，2]上單調遞增，在區(qū)間[2，+∞）上單調遞減，
∴r=2時，V最大，
此時2h=12-4=8，即h=4，
∴$\frac{r}{h}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了圓柱的表面積公式與體積公式，考查了導數(shù)的應用及利用函數(shù)思想求最值，構造函數(shù)利用導數(shù)求函數(shù)的最值是解答本題的關鍵，一元三次函數(shù)求最值常用導數(shù)法．