Question

6．已知f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，其中a＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（3）設(shè)g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，設(shè)出切點，由切線的方程可得切線的斜率，和切點，解方程即可得到a的值；
（3）由g（x）=xlnx-a（x-1），知g'（x）=lnx+1-a，當0＜a≤1時，g'（x）≥0，g（x）是增函數(shù)，最大值是g（e）=e-a（e-1）；當a≥2時，g'（x）≤0，g（x）是減函數(shù)，最大值是g（1）=0；當1＜a＜2時，g（x）先減后增，最大值是g（1）或g（e）．由此能求出g（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，
∴f′（x）=$\frac{a{x}^{2}-2ax（x-1）}{{x}^{4}}$=$\frac{2a-ax}{{x}^{3}}$，
∵a＞0，
∴由f′（x）=$\frac{2a-ax}{{x}^{3}}$＞0，
得$\left\{\begin{array}{l}{2a-ax＞0}\\{{x}^{3}＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{2a-ax＜0}\\{{x}^{3}＜0}\end{array}\right.$，
∴0＜x＜2，或無解，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2）．
由f′（x）=$\frac{2a-ax}{{x}^{3}}$＜0，
得$\left\{\begin{array}{l}{2a-ax＜0}\\{{x}^{3}＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{2a-ax＞0}\\{{x}^{3}＜0}\end{array}\right.$，
∴x＞2或x＜0．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞）．
（2）f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$的導數(shù)為f′（x）=$\frac{a{x}^{2}-2ax（x-1）}{{x}^{4}}$=$\frac{2a-ax}{{x}^{3}}$，
設(shè)切點為（m，n），可得切線的斜率為$\frac{2a-am}{{m}^{3}}$=1，
且n=m-1=$\frac{a（m-1）}{{m}^{2}}$，
解得m=1，n=0，a=1．
則a的值為1；
（3）∵f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，g（x）=xlnx-x²f（x），
∴g（x）=xlnx-a（x-1），
∴g'（x）=lnx+1-a，
當0＜a≤1時，g'（x）≥0，g（x）是增函數(shù)，最大值是g（e）=e-a（e-1）；
當a≥2時，g'（x）≤0，g（x）是減函數(shù)，最大值是g（1）=0；
當1＜a＜2時，g（x）先減后增，最大值是g（1）或g（e）．
設(shè)g（1）＞g（e），即 e-a（e-1）＜0，即 a＞$\frac{e}{e-1}$，
所以若$\frac{e}{e-1}$＜a＜2 時，最大值是g（1），
若1＜a＜$\frac{e}{e-1}$，最大值是g（e）．
綜上，0＜a＜$\frac{e}{e-1}$時，最大值是g（e）=e-a（e-1）；
$\frac{e}{e-1}$＜a＜2 時，最大值是g（1）=0．

點評 本題考查導數(shù)的運用：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和切線的求法和函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值．綜合性強，是高考的重點．解題時要認真解答，注意導數(shù)性質(zhì)的靈活運用．易錯點是分類不清，導致出錯．