Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-（2a+1）x+alnx（a∈R）．
（1）若a=1，求y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）函數(shù)g（x）=（1-a）x，若?x₀∈[1，e]使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，確定f′（1）=0，即可求y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）令f′（x）=0得x=$\frac{1}{2}$或x=a，利用f（x）在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）將恒成立的不等式變形，分離出a，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值令a小于等于最大值即可．

解答 解：（1）a=1，f（x）=x²-3x+lnx，∴f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$，f（1）=-2，
∴f′（1）=0，
∴y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0；
（2）f′（x）=$\frac{（2x-1）（x-a）}{x}$
令f′（x）=0得x=$\frac{1}{2}$或x=a．
∵f（x）在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，
∴a≥2或a≤1；
（3）令x²-（a+2）x+alnx≥0在[1，e]上有解．
即x²-2x≥a（x-lnx），由于x-lnx在[1，e]上為正數(shù)
∴問題轉(zhuǎn)化為a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$在[1，e]上有解
令h（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，下求此函數(shù)在[1，e]的最大值
由于h′（x）=$\frac{（x-1）（x+2-2lnx）}{（x-lnx）^{2}}$＞0成立，∴h（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$在[1，e]上是增函數(shù)，
∴$h（x）_{max}=h（e）=\frac{{e}^{2}-2e}{e-1}$
故實數(shù)a的取值范圍為a≤$\frac{{e}^{2}-2e}{e-1}$．

點評 解決不等式有解問題，常用的方法是分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；解決不等式恒成立問題也是分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．