Question

18．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=1，AC=$\sqrt{3}$，AA₁=4，點(diǎn)D、E、F分別是棱BC、CC₁、AA₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：FB∥平面ADE；
（Ⅱ）求三棱錐E-ADB₁的體積．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)CF交AE與G，連結(jié)DG，EF．則四邊形ACEF是平行四邊形，于是G是CF的中點(diǎn)．由中位線定理得DG∥BF，故而FB∥平面ADE；
（II利用勾股定理計(jì)算BC，S${\;}_{△{B}_{1}DE}$．過A作AM⊥BC，則可證AM⊥平面BCC₁B₁，計(jì)算AM，則V${\;}_{E-AD{B}_{1}}$=V${\;}_{A-{B}_{1}DE}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}DE}•AM$．

解答 解：（I）連結(jié)CF交AE與G，連結(jié)DG，EF
∵E，F(xiàn)是CC₁，AA₁的中點(diǎn)，
∴四邊形ACEF是平行四邊形，∴G是CF的中點(diǎn)．
又∵D是BC的中點(diǎn)，
∴DG∥BF．又BF?平面ADE，DG?平面ADE，
∴FB∥平面ADE．
（II）∵AB=1，AC=$\sqrt{3}$，AB⊥AC，
∴BC=2．BD=CD=$\frac{1}{2}BC=1$．
∴S${\;}_{△{B}_{1}DE}$=S${\;}_{矩形BC{C}_{1}{B}_{1}}$-S${\;}_{△{B}_{1}BD}$-S_△CDE-S${\;}_{△{B}_{1}{C}_{1}E}$=2×4-$\frac{1}{2}×1×4$-$\frac{1}{2}×1×2$$-\frac{1}{2}×2×2$=3．
過A作AM⊥BC，則AM=$\frac{AB×AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵BB₁⊥平面ABC，AM?平面ABC，
∴BB₁⊥AM，又BB₁?平面BCC₁B₁，BC??平面BCC₁B₁，BC∩BB₁=B，
∴AM⊥平面BCC₁B₁，
∴V${\;}_{E-AD{B}_{1}}$=V${\;}_{A-{B}_{1}DE}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}DE}•AM$=$\frac{1}{3}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．