Question

1．已知$\overrightarrow i$和$\overrightarrow j$是互相垂直的單位向量，向量$\overrightarrow{a_n}$滿足：$\overrightarrow i•\overrightarrow{a_n}=n$，$\overrightarrow j•\overrightarrow{a_n}=2n+1$，n∈N^*，設(shè)θ_n為$\overrightarrow i$和$\overrightarrow{a_n}$的夾角，則（　�。�

• A． θ_n隨著n的增大而增大
• B． θ_n隨著n的增大而減小
• C． 隨著n的增大，θ_n先增大后減小
• D． 隨著n的增大，θ_n先減小后增大

Answer 1

分析 分別以 $\overrightarrow i$和$\overrightarrow j$所在的直線為x軸，y軸建立坐標(biāo)系，則$\overrightarrow i$=（1，0），$\overrightarrow{j}$=（0，1），設(shè)$\overrightarrow{a_n}$=（x_n，y_n），進(jìn)而可求出tanθ_n，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷．

解答 解：分別以 $\overrightarrow i$和$\overrightarrow j$所在的直線為x軸，y軸建立坐標(biāo)系，則$\overrightarrow i$=（1，0），$\overrightarrow{j}$=（0，1），
設(shè)$\overrightarrow{a_n}$=（x_n，y_n），
∵$\overrightarrow i•\overrightarrow{a_n}=n$，$\overrightarrow j•\overrightarrow{a_n}=2n+1$，n∈N^*，
∴x_n=n，y_n=2n+1，n∈N^*，
∴$\overrightarrow{a_n}$=（n，2n+1），n∈N^*，
∵θ_n為$\overrightarrow i$和$\overrightarrow{a_n}$的夾角，
∴tanθ_n=$\frac{{y}_{n}}{{x}_{n}}$=$\frac{2n+1}{n}$=2+$\frac{1}{n}$
∴y=tanθ_n為減函數(shù)，
∴θ_n隨著n的增大而減�。�
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件把所求問題坐標(biāo)化．