Question

6．在正方體ABCDD一A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E為線段C₁D₁上一點(diǎn)，且滿足$\frac{{D}_{1}E}{E{C}_{1}}$=$\sqrt{3}$+1，則直線AB₁與直線CE所成的角的大小為（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AB₁與直線CE所成的角的大�。�

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCDD一A₁B₁C₁D₁中棱長(zhǎng)為$\sqrt{3}+2$，
則A（$\sqrt{3}+2$，0，0），B₁（$\sqrt{3}+2，\sqrt{3}+2，\sqrt{3}+2$），
C（0，$\sqrt{3}+2$，0），E（0，$\sqrt{3}+1$，$\sqrt{3}+2$），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，$\sqrt{3}+2，\sqrt{3}+2$），$\overrightarrow{CE}$=（0，-1，$\sqrt{3}+2$），
設(shè)直線AB₁與直線CE所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{CE}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{5+3\sqrt{3}}{\sqrt{14+8\sqrt{3}}•\sqrt{8+4\sqrt{3}}}$=$\frac{5+3\sqrt{3}}{10+6\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°．
∴直線AB₁與直線CE所成的角的大小為60°．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．