Question

13．如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD、AE上，且BM=$\frac{1}{3}$BD，AN=$\frac{1}{3}$AE，求證：MN∥平面CDE．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE}$，能證明MN∥平面CDE．

解答 證明：因為M 在BD 上，且BM=$\frac{1}{3}BD$，
所以$\overrightarrow{MB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，
同理$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE}$，
所以$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}$=（$\frac{1}{3}\overrightarrow{DA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$）+$\overrightarrow{BA}$+（$\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE}$）=$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE}$，
又$\overrightarrow{CD}$與$\overrightarrow{DE}$不共線，根據(jù)向量共面的充要條件可知$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{DE}$共面，
由于MN不在平面CDE內(nèi)，所以MN∥平面CDE．

點評 本題考查線面平行的證明，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．