Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（4，3），$\overrightarrow$=（-1，2）．
（1）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值；
（2）若向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$平行，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用向量的數(shù)量積求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值；
（2）表示出向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$，2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，利用兩者平行的充要條件，露垂芳草，即可求λ的值．

解答 （本小題滿(mǎn)分12分）
解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（4，3），$\overrightarrow$=（-1，2）．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-4+6=2，$\left|\overrightarrow{a}\right|$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，$\left|\overrightarrow\right|$=$\sqrt{（-1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$…（3分）
∴cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow\right|}$=$\frac{2}{5\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．…（6分）
（2）∵向量$\overrightarrow{a}$=（4，3），$\overrightarrow$=（-1，2）．向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$=（4+λ，3-2λ），2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（7，8）…（8分）
∵向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$平行，
∴$\frac{4+λ}{7}=\frac{3-2λ}{8}$，…（10分）
解得：λ=$-\frac{1}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，向量共線(xiàn)以及向量的夾角的求法，考查計(jì)算能力．