Question

20．若對于函數(shù)f（x）=$\frac{sin|x|}{x}$+b，現(xiàn)給出四個命題：
①b=0時，f（x）為奇函數(shù)；
②y=f（x）的圖象關(guān)于（0，b）對稱；
③b=-1時，方程f（x）=0有且只有一個實數(shù)根；
④b=-1時，不等式f（x）＞0的解集為空集．
其中正確的命題是①②④．（寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

分析 分析函數(shù)（x）=$\frac{sin|x|}{x}$的奇偶性，可判斷①；結(jié)合函數(shù)圖象的平移變換法則和①中結(jié)論，可判斷②；根據(jù)方程sin|x|=x有且只有一個實根0，但0為方程f（x）=0的增根，可判斷③；分類討論$\frac{sin|x|}{x}$＞1解集的情況，可判斷④

解答 解：①b=0時，f（x）=$\frac{sin|x|}{x}$，f（-x）=$\frac{sin|-x|}{-x}$=$\frac{sin|x|}{-x}$=-$\frac{sin|x|}{x}$，滿足f（-x）=-f（x）為奇函數(shù)，即①正確；
②y=f（x）的圖象，由y=$\frac{sin|x|}{x}$的圖象向上平移b個單位得到，由①知y=$\frac{sin|x|}{x}$的圖象關(guān)于原點對稱，故y=f（x）的圖象關(guān)于（0，b）對稱，即②正確；
③方程sin|x|=x有且只有一個實根0，但x=0時，$\frac{sin|x|}{x}$=1，無意義，即b=-1時，方程f（x）=0無實數(shù)根，即③錯誤；
④當x＞0時，sin|x|＞x的解集為空集，即$\frac{sin|x|}{x}$＞1，的解集為空集，即f（x）＞0的解集為空集．
當x＜0時，sin|x|＜x的解集為空集，即$\frac{sin|x|}{x}$＞1，的解集為空集，即f（x）＞0的解集為空集．
綜上，b=-1時，不等式f（x）＞0的解集為空集．故④正確
故正確的命題是：①②④；
故答案為：①②④

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了y=$\frac{sin|x|}{x}$的圖象和性質(zhì)，熟練掌握和理解y=$\frac{sin|x|}{x}$的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．