Question

1．已知點O是△ABC的外心，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若2c²-c+b²=0，則$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$的最大值是（　�。�

• A． $\frac{1}{12}$
• B． $\frac{1}{24}$
• C． $\frac{1}{8}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 由b²=c-2c²＞0得出c的范圍，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{BC}$，根據向量的數量級定義得出$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$關于c的函數．求出此函數的最大值即可．

解答 解：過OOD⊥AB于D，OE⊥AC于E，則D，E分別是AB，AC的中點．
∴$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AO}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=AC•AE-AB•AD=$\frac{^{2}-{c}^{2}}{2}$．
∵2c²-c+b²=0，∴b²=c-2c²＞0，解得0$＜c＜\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AO}$=$\frac{c-3{c}^{2}}{2}$=-$\frac{3}{2}$（c-$\frac{1}{6}$）²+$\frac{1}{24}$．
∴當c=$\frac{1}{6}$時，$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$取得最大值$\frac{1}{24}$．
故選B．

點評 本題考查了平面向量的數量級運算，二次函數的最值，屬于中檔題．