Question

11．某地修建防洪渠道，其直截面圖是等腰梯形ABCD（如圖），底CD=40，腰AD=40，為使防洪渠道的通水量最大，應(yīng)將防洪渠道的上口AB的寬設(shè)計(jì)為多少？

Answer 1

分析 設(shè)∠A=θ，則梯形的高為40sinθ，下底長為40+80cosθ，求出面積，利用導(dǎo)數(shù)的方法求解即可．

解答 解：設(shè)∠A=θ，則梯形的高為40sinθ，下底長為40+80cosθ，
所以梯形的面積為：S=$\frac{（40+40+80cosθ）×40sinθ}{2}$=1600（sinθ+sinθcosθ）
求導(dǎo)得S′=1600（cosθ+1）（2cosθ-1）
所以當(dāng)θ∈（0，$\frac{π}{3}$）時(shí)，S＞0；當(dāng)θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）時(shí)，S＜0，
所以S在θ=$\frac{π}{3}$時(shí)取得極大值，也即最大值，此時(shí)AB=80．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，正確表示梯形的面積是關(guān)鍵．