Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+2^ax+b，且f（-1）=

5

2

，f（0）=2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式并判斷奇偶性；
（Ⅱ）若f（x）=

65

8

，求x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（ I）由條件列出方程組，解出a，b，即可得到f（x）的解析式，再求定義域，計(jì)算f（-x），與f（x）比較，即可判斷奇偶性；
（II）設(shè)2^x=t（t＞0），則有t+

1

t

=

65

8

，解出t，再運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得到x．

解答： 解：（ I）已知得

5 2 =2-1+2-a+b 2=1+2b.

解得：

a=-1 b=0.

，
則f（x）=2^x+2^-x．
顯然函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，
由f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（II）設(shè)2^x=t（t＞0），則有t+

1

t

=

65

8

，
即

t2+1

t

=

65

8

，解得t=8或

1

8

，
即2^x=8或

1

8

，
即有x=3或x=-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和函數(shù)的解析式的求法，同時(shí)考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．