Question

已知二次函數(shù)y=x²+ax+a-2；
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）設(shè)a＜0，當(dāng)此函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為

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時(shí)，求出此二次函數(shù)的解析式；
（3）若此二次函數(shù)圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，在函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB的面積為

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2

，若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接計(jì)算該函數(shù)對(duì)應(yīng)的一元二次方程的判別式取值情況進(jìn)行證明；
（2）依據(jù)兩個(gè)交點(diǎn)的距離為

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，建立等式求解a的值；
（3）首先，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，然后，根據(jù)所給的條件進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+ax+a-2；
∴一元二次方程x²+ax+a-2=0，
∵△=a²-4（a-2）=a²-4a+8
=（a-2）²+4＞0，
∴一元二次方程x²+ax+a-2=0有兩個(gè)不等實(shí)根，
∴此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)，
（2）設(shè)函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，則
x²+ax+a-2=0，
x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2，
∵|x₁-x₂|=

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，
∴

(x1+x2)2-4x1x2

=

13

，
∴

a2-4(a-2)

=

13

，
∴a=-1或a=5（舍去），
∴a=-1，
∴二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x²-x-3．
（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，滿足給定的條件，
設(shè)點(diǎn)P（m，n），
∵|AB|=

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，
∵S=

1

2

×|AB|•|n|=

3 13

2

，
∴|n|=3，
∴n=±3，
∴當(dāng)n=3時(shí)，解得m=-2或m=3，
當(dāng)n=-3時(shí)，解得m=0或m=1，
綜上所述，存在這樣的點(diǎn)，且P點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，3），（3，3），（0，-3）或（1，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、存在性問題的處理思路和方法，屬于中檔題．