如圖所示，直立在地面上的兩根鋼管AB和CD，AB=10
3
m，CD=3
3
m，現(xiàn)用鋼絲繩對這兩根鋼管進行加固，有兩種方法：
（1）如圖（1）設兩根鋼管相距1m，在AB上取一點E，以C為支點將鋼絲繩拉直并固定在地面的F處，形成一個直線型的加固（圖中虛線所示）．則BE多長時鋼絲繩最短？
（2）如圖（2）設兩根鋼管相距3
3
m，在AB上取一點E，以C為支點將鋼絲繩拉直并固定在地面的F 處，再將鋼絲繩依次固定在D處、B處和E處，形成一個三角形型的加固（圖中虛線所示）．則BE 多長時鋼絲繩最短？
考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型
專題：應用題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用
分析：設鋼絲繩長為ym，∠CFD=θ，
（1）y=
3
3
tanθ
+1
cosθ
=
3
3
sinθ
+
1
cosθ
（其中0＜θ＜θ0，tanθ0=7），求導y′=
-3
3
cosθ
sin2θ
+
sinθ
cos2θ
，由導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值；
（2）y=(
3
3
sinθ
+
3
3
cosθ
)(1+cosθ+sinθ)（其中0＜θ＜θ0，tanθ0=
12
3
-3
3
3
3
=3），求導y′=(
-3
3
cosθ
sin2θ
+
sinθ
cos2θ
)(1+sinθ+cosθ)+(
3
3
sinθ
+
3
3
cosθ
)(cosθ-sinθ)，由導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值．
解答： 解：（1）設鋼絲繩長為ym，∠CFD=θ，則
y=
3
3
tanθ
+1
cosθ
=
3
3
sinθ
+
1
cosθ
（其中0＜θ＜θ0，tanθ0=7），
y′=
-3
3
cosθ
sin2θ
+
sinθ
cos2θ
，
易知y′=
-3
3
cosθ
sin2θ
+
sinθ
cos2θ
為（0，θ0）上的增函數(shù)，
且當tanθ=
3
時，y′=0；
故y=
3
3
tanθ
+1
cosθ
=
3
3
sinθ
+
1
cosθ
在（0，θ0）上先減后增，
故當tanθ=
3
時，即BE=4
3
時，ymin=8；

（2）設鋼絲繩長為ym，∠CFD=θ，則
y=(
3
3
sinθ
+
3
3
cosθ
)(1+cosθ+sinθ)（其中0＜θ＜θ0，tanθ0=
12
3
-3
3
3
3
=3），
y′=(
-3
3
cosθ
sin2θ
+
sinθ
cos2θ
)(1+sinθ+cosθ)+(
3
3
sinθ
+
3
3
cosθ
)(cosθ-sinθ)，
令y'=0得sinθ=cosθ，
當θ=
π
4
時，即BE=6
3
時，
ymin=6
3
(
2
+2)；
答：按方法（1），BE=4
3
米時，鋼絲繩最短；按方法（2），BE=6
3
米時，鋼絲繩最短．
點評：本題考查了函數(shù)在實際問題中的應用，同時考查了導數(shù)的綜合應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知：a=(2
1
4
)
1
2
-（9.6）0-(3
3
8
)-
2
3
+（1.5）-2，b=（log43+log83）（log32+log92）÷（log224+lg
1
2
-log3
27
+lg2-log23），求a+3b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=x2+ax+a-2；
（1）求證：不論a為何實數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個交點；
（2）設a＜0，當此函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的距離為
13
時，求出此二次函數(shù)的解析式；
（3）若此二次函數(shù)圖象與x軸交于A，B兩點，在函數(shù)圖象上是否存在點P，使得△PAB的面積為
3
13
2
，若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

解不等式：loga（2x-3）＞loga（x-1）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

計算：（lg5）2+lg2•lg50-log 
1
2
8+log3
427
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，其左焦點為F（-
3
，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點D（1，0）直線：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于A，B兩點，設線段AB的中點為M若DM⊥AB，試求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若x∈（
1
e
，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，則a、b、c的大小關(guān)系是
 
（按由小到大的順序排列）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=logax，其反函數(shù)為g（x）．
（1）解關(guān)于x的方程f（x-1）=f（a-x）-f（5-x）；
（2）設F（x）=（2m-1）g（x）+（
1
m
-
1
2
）g（-x），若F（x）有最小值，試求其表達式h（m）；
（3）求h（m）的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-3=0的距離為2
2
，設P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）當點P在直線l上移動時，求|AF|•|BF|的最小值．

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