Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=e^x．若對任意的x∈[a，a+1]，不等式f（x+a）≥f²（x）恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是（　�。�

• A、-

  3

  2

• B、-

  2

  3

• C、-

  3

  4

• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（|x+a|）≥f²（|x|）恒成立，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答：解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴不等式f（x+a）≥f²（x）恒成立等價(jià)為f（|x+a|）≥f²（|x|）恒成立，
∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=e^x．
∴不等式等價(jià)為e^|x+a|≥（e^|x|）²=e^2|x|恒成立，
即|x+a|≥2|x|在[a，a+1]上恒成立，
平方得x²+2ax+a²≥4x²，
即3x²-2ax-a²≤0在[a，a+1]上恒成立，
設(shè)g（x）=3x²-2ax-a²，
則滿足

g(a)≤0 g(a+1)≤0

，
∴

g(a)=3a2-2a2-a2≤0 g(a+1)=3(a+1)2-2a(a+1)-a2≤0

，
即

0≤0 4a+3≤0

，
∴a≤-

3

4

，
故實(shí)數(shù)a的最大值是-

3

4

．
故選：C．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．