Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的方程為y=3+$\sqrt{-{x}^{2}+8x-15}$．
（1）寫出曲線C的一個參數(shù)方程；
（2）在曲線C上取一點P，過點P作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，求矩形OAPB的周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）采用平方法，化簡曲線C，根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得曲線C的一個參數(shù)方程；
（2）由（1）可知曲線C，曲線C上取一點P的參數(shù)坐標(biāo)，利用三角函數(shù)的有界限求解矩形OAPB的周長的取值范圍

解答 解：（1）曲線C的方程為y=3+$\sqrt{-{x}^{2}+8x-15}$．
化簡可得：（y-3）²=-x²+8x-15，（y≥3，3≤x≤5）
即：x²+y²-8x-6y+24=0，
可知圓心為（4，3），半徑r=1，
曲線C的一個參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+cosθ}\\{y=3+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）
（2）由（1）可知曲線C圓心為（4，3），半徑r=1，（y≥3，3≤x≤5）的半圓．
設(shè)一點P的參數(shù)坐標(biāo)為（4+cosθ，3+sinθ）（0≤θ≤π），
過點P作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，
∴|PA|=3+sinθ，|PB|=4+cosθ
∴矩形OAPB的周長l=2|PA|+2|PB|=2|3+sinθ+4+cosθ|=2[7+$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）]，（0≤θ≤π）
當(dāng)θ=$\frac{π}{4}$時，周長l最大為14+2$\sqrt{2}$．
當(dāng)θ=π時，周長l最小為12．
故得矩形OAPB的周長的取值范圍是[12，$14+2\sqrt{2}$]

點評 本題考查了普通方程化參數(shù)方程和利用參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的有界限問題求解范圍問題，屬于中檔題．