Question

【題目】函數(shù)，，.

（1）設(shè)，假設(shè)在上遞減，求的取值范圍；

（2）假設(shè)，求證：.

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，假設(shè)存在，求出的取值范圍，假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）存在實(shí)數(shù)

【解析】

（1）由在遞減，得在恒成立， ，即可得到本題答案；

（2）要證明時(shí)，，只需證明當(dāng)，，算出的最小值和的最大值，即可得到本題答案；

（3）分和考慮的最小值，即可得到本題答案.

（1），，

由在遞減，得在恒成立，所以，

即，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，

即的取值范圍是；

（2）要證明時(shí)，，只需證明當(dāng)，，

當(dāng)時(shí)，，，令，得

當(dāng)時(shí)，，遞減，

當(dāng)時(shí)，，遞增，

因此，

，令，解得

當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，因此，而，，因此成立，即時(shí)，；

（3），，

①當(dāng)時(shí)，，在上遞減，因此

假設(shè)恒成立，那么，即，與矛盾；

②當(dāng)時(shí)，令，得.

1.當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，因此，當(dāng)時(shí)，取到唯一的極值，又是極小值，因此.

假設(shè)恒成立，即，解得.

2.當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，遞減，因此，

假設(shè)恒成立，那么，即，與矛盾.

綜上，存在實(shí)數(shù)，使得恒成立.