Question

12．甲乙兩組數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)舉行了賽前模擬考試，成績記錄如下（單位：分）：
甲：79，81，82，78，95，93，84，88
乙：95，80，92，83，75，85，90，80
（1）畫出甲、乙兩位學(xué)生成績的莖葉圖，；
（2）計算甲、乙兩組同學(xué)成績的平均分和方差，并從統(tǒng)計學(xué)的角度分析，哪組同學(xué)在這次模擬考試中發(fā)揮比較穩(wěn)定；
（3）在甲、乙兩組同學(xué)中，若對成績不低于90分得再隨機地抽3名同學(xué)進行培訓(xùn)，求抽出的3人中既有甲組同學(xué)又有乙組同學(xué)的概率．
（參考公式：樣本數(shù)據(jù)x₁，x₂，…，x_n的標(biāo)準(zhǔn)差：
s=$\sqrt{\frac{1}{n}[（{x}_{1}-\overline{x}）^{2}+（{x}_{2}-\overline{x}）^{2}+…+（{x}_{n}-\overline{x}）^{2}]}$，其中$\overline{x}$為樣本平均數(shù)）

Answer 1

分析 （1）由甲乙兩組的成績紀(jì)錄，能作出甲、乙兩位學(xué)生成績的莖葉圖．
（2）分別求出甲組同學(xué)成績的平均分、方差和乙組同學(xué)成績的平均、方差，由甲和乙兩組同學(xué)成績平均分相等，乙組同學(xué)成績的方差大于甲組同學(xué)成績的方差，得甲組同學(xué)模擬考試中發(fā)揮比較穩(wěn)定．
（3）在甲、乙兩組同學(xué)中，成績不低于90分的有5人，其中甲組2人，乙組3人，由此利用對立事件概率計算公式能求出抽出的3人中既有甲組同學(xué)又有乙組同學(xué)的概率．

解答 解：（1）由甲乙兩組的成績紀(jì)錄，作出甲、乙兩位學(xué)生成績的莖葉圖如下

（2）甲組同學(xué)成績的平均分$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{1}{8}$（79+81+82+78+95+93+84+88）=85，
甲組同學(xué)成績的方差${{S}_{甲}}^{2}$=$\frac{1}{8}$[（79-85）²+]（81-85）²+（82-85）²+（78-85）²+（95-85）²+（93-85）²+（84-85）²+（88-85）²]=35.5．
乙組同學(xué)成績的平均分$\overline{{x}_{乙}}$=$\frac{1}{8}$（95+80+92+83+75+85+90+80）=85，
乙組同學(xué)成績的方差${{S}_{乙}}^{2}$=$\frac{1}{8}$[（95-85）²+]（80-85）²+（92-85）²+（83-85）²+（75-85）²+（85-85）²+（90-85）²+（80-85）²]=41．
∵甲和乙兩組同學(xué)成績的平均分相等，乙組同學(xué)成績的方差大于甲組同學(xué)成績的方差，
∴甲組同學(xué)模擬考試中發(fā)揮比較穩(wěn)定．
（3）在甲、乙兩組同學(xué)中，成績不低于90分的有5人，其中甲組2人，乙組3人，
從中任取3人，基本事件總數(shù)n=${C}_{5}^{3}$=10，
抽出的3人中既有甲組同學(xué)又有乙組同學(xué)的概率：
p=1-$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{9}{10}$．

點評 本題考查莖葉圖的作法，考查平均分、方差的求法，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．