Question

2．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右頂點A₁，A₂，橢圓上不同于A₁，A₂的點P，A₁P，A₂P兩直線的斜率之積為-$\frac{4}{9}$，△PA₁A₂面積最大值為6．
（I）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若橢圓E的所有弦都不能被直線l：y=k（x-1）垂直平分，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)P（x，y），運用直線的斜率公式，以及橢圓的范圍，求得三角形的最大面積，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)E的弦所在直線方程為y=-$\frac{x}{k}$+m，代入E的方程，得（4+$\frac{9}{{k}^{2}}$）x²-$\frac{18m}{k}$x+9m²-36=0，由此利用根的判別式、韋達定理結(jié)合已知條件能求出實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），
橢圓的左右頂點A₁（-a，0），A₂（a，0），
由題意可得$\frac{y}{x+a}$•$\frac{y}{x-a}$=-$\frac{4}{9}$，
整理可得$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{4{a}^{2}}{9}}$=1，
即有b²=$\frac{4}{9}$a²，
△PA₁A₂面積最大值為6，
即有面積為S=$\frac{1}{2}$•2a•|y_P|≤ab，
即S的最大值為ab=6，
解得a=3，b=2，
可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）設(shè)E的弦所在直線方程為y=-$\frac{x}{k}$+m，代入E的方程，得
（4+$\frac{9}{{k}^{2}}$）x²-$\frac{18m}{k}$x+9m²-36=0，
△=$\frac{324{m}^{2}}{{k}^{2}}$-4（4+$\frac{9}{{k}^{2}}$）（9m²-36）＞0，
可得m²＜4+$\frac{9}{{k}^{2}}$，①
設(shè)弦的兩端為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{18km}{9+4{k}^{2}}$，
弦的中點：x=$\frac{9km}{9+4{k}^{2}}$，y=-$\frac{9m}{9+4{k}^{2}}$+m=$\frac{4m{k}^{2}}{9+4{k}^{2}}$，
這個中點不在直線y=k（x-1）上，
∴$\frac{4m{k}^{2}}{9+4{k}^{2}}$≠k（$\frac{9km}{9+4{k}^{2}}$-1），
即有m≠$\frac{9+4{k}^{2}}{5k}$，
m²≠$\frac{1}{25{k}^{2}}$（9+4k²）²，
由①可得，$\frac{（9+4{k}^{2}）^{2}}{25{k}^{2}}$≥4+$\frac{9}{{k}^{2}}$
解得k≥2或k≤-2．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．