Question

7．已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），滿足tan（α+β）=9tanβ，則tanα的最大值為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 利用兩角和的正切將tan（α+β）=9tanβ轉(zhuǎn)化，整理為關(guān)于tanβ的一元二次方程，利用題意，結(jié)合韋達(dá)定理即可求得答案．

解答 解：∵tan（α+β）=9tanβ，
∴$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=9tanβ，
∴9tanαtan²β-8tanβ+tanα=0，①
∴α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴方程①有兩正根，tanα＞0，
∴△=64-36tan²α≥0，
∴0＜tanα≤$\frac{4}{3}$．
∴tanα的最大值是$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，考查一元二次方程中韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與方程思想，也可以先求得tanα，再利用基本不等式予以解決，屬于中檔題．