Question

14．已知函數(shù)f（x）=a^2x+ma^x-n（a＞0且a≠1），若存在實(shí)數(shù)x使得f（x）+f（-x）=-2，則m²+4n²的最小值為$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 換元令t=a^x，t＞0；從而可得（t+$\frac{1}{t}$）²+m（t+$\frac{1}{t}$）-2n=0，再令u=t+$\frac{1}{t}$，則u≥2；從而可得u²+mu-2n=0，從而化簡(jiǎn)m²+4n²=m²+（u²+mu）²=（u²+1）m²+2u³m+u⁴，從而求最值即可．

解答 解：令t=a^x，t＞0；
則f（x）=g（t）=t²+mt-n，
f（-x）=g（$\frac{1}{t}$）=（$\frac{1}{t}$）²+m$\frac{1}{t}$-n，
故f（x）+f（-x）=t²+mt-n+（$\frac{1}{t}$）²+m$\frac{1}{t}$-n=-2，
即（t+$\frac{1}{t}$）²+m（t+$\frac{1}{t}$）-2n=0，
令u=t+$\frac{1}{t}$，則u≥2；
則u²+mu-2n=0，
故2n=u²+mu，
故m²+4n²=m²+（u²+mu）²
=m²+u⁴+2mu³+m²u²
=（u²+1）m²+2u³m+u⁴，
△=4u⁶-4（u²+1）u⁴=-4u⁴＜0，
∴當(dāng)m=-$\frac{2{u}^{3}}{2（{u}^{2}+1）}$時(shí)，取最小值；
故最小值為$\frac{4{u}^{4}}{4（{u}^{2}+1）}$=$\frac{{u}^{4}}{{u}^{2}+1}$=（u²+1）+$\frac{1}{{u}^{2}+1}$-2，
∵u≥2，
∴u²+1≥5，
∴（u²+1）+$\frac{1}{{u}^{2}+1}$≥5+$\frac{1}{5}$，
∴（u²+1）+$\frac{1}{{u}^{2}+1}$-2≥3+$\frac{1}{5}$=$\frac{16}{5}$，
故答案為：$\frac{16}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想與整體思想的應(yīng)用及換元法的應(yīng)用．