Question

4．做一個(gè)圓柱形鍋爐，容積為V，兩個(gè)底面的材料每單位面積的價(jià)格為a元，側(cè)面的材料每單位面積的價(jià)格為b元，當(dāng)造價(jià)最低時(shí)，鍋爐的高與底面直徑的比為（　�。�

• A． $\frac{a}$
• B． $\frac{{a}^{2}}$
• C． $\frac{a}$
• D． $\frac{^{2}}{a}$

Answer 1

分析 設(shè)鍋爐的高h(yuǎn)與底面直徑d的比為k=$\frac{h}xhbsxsq$，運(yùn)用圓柱的表面積公式和體積公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求得極值點(diǎn)且為最值點(diǎn)，即可得到．

解答 解：設(shè)鍋爐的高h(yuǎn)與底面直徑d的比為k=$\frac{h}yfcbvmr$，
由V=$\frac{πd7xlgac^{2}}{4}$h=$\frac{πma7wnh7^{2}}{4}$•kd=$\frac{π}{4}$kd³，
可得d=$\root{3}{\frac{4V}{kπ}}$，h=kd=$\root{3}{\frac{4v{k}^{2}}{π}}$，
設(shè)造價(jià)為y，則y=2π•（$\fracgdz4w72{2}$）²•a+πdh•b=$\frac{πa}{2}$•$\root{3}{\frac{16{V}^{2}}{{π}^{2}}}$•${k}^{-\frac{2}{3}}$+πb•$\root{3}{\frac{16{V}^{2}}{{π}^{2}}}$•${k}^{\frac{1}{3}}$，
則y′=$\frac{πa}{2}$•$\root{3}{\frac{16{V}^{2}}{{π}^{2}}}$•（-$\frac{2}{3}$）${k}^{-\frac{5}{3}}$++πb•$\root{3}{\frac{16{V}^{2}}{{π}^{2}}}$•$\frac{1}{3}$${k}^{-\frac{2}{3}}$，
令y′=0，解得k=$\frac{a}$，可得此時(shí)y取得最小值．
故當(dāng)造價(jià)最低時(shí)，鍋爐的高與底面直徑的比為$\frac{a}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)在實(shí)際問題中的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求最值，同時(shí)考查圓柱的表面積和體積的運(yùn)用，屬于中檔題．