Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)A極坐標(biāo)為（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）直線l的坐標(biāo)方程為l：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且l過(guò)點(diǎn)A，曲線C₁的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．過(guò)B（-2，2）與直線l平行的直線l₁與曲線交于M、N兩點(diǎn)，求|$\overrightarrow{BM}$|•|$\overrightarrow{BN}$|的值．

Answer 1

分析 把極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程，求出直線l₁的方程，與C₁的方程組成方程組，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，計(jì)算|$\overrightarrow{BM}$|•|$\overrightarrow{BN}$|的值即可．

解答 解：∵點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
∴點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（4，4）；
又直線l的極坐標(biāo)方程為l：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ=a，
化為普通方程為$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$y=a，
且l過(guò)點(diǎn)A，
∴a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4=4$\sqrt{2}$，
∴直線l的方程為x+y=8；
又曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
化為普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
設(shè)過(guò)B（-2，2）與直線l平行的直線l₁的方程為
x+y=k，
則k=-2+2=0，
∴l(xiāng)₁的方程為：x+y=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\sqrt{\frac{12}{7}}}\\{{y}_{1}=-\sqrt{\frac{12}{7}}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\sqrt{\frac{12}{7}}}\\{{y}_{2}=\sqrt{\frac{12}{7}}}\end{array}\right.$，
即M（$\sqrt{\frac{12}{7}}$，-$\sqrt{\frac{12}{7}}$）、N（-$\sqrt{\frac{12}{7}}$，$\sqrt{\frac{12}{7}}$）；
∴|$\overrightarrow{BM}$|•|$\overrightarrow{BN}$|=$\sqrt{{（\sqrt{\frac{12}{7}}+2）}^{2}{+（-\sqrt{\frac{12}{7}}-2）}^{2}}$•$\sqrt{{（-\sqrt{\frac{12}{7}}+2）}^{2}{+（\sqrt{\frac{12}{7}}-2）}^{2}}$
=$\sqrt{2}$（$\sqrt{\frac{12}{7}}$+2）•$\sqrt{2}$（2-$\sqrt{\frac{12}{7}}$）
=2×（4-$\frac{12}{7}$）
=$\frac{32}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．