Question

15．已知函數(shù)f（x）=msinx+3cosx（m∈R），若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=n（n為常數(shù)）相鄰兩個交點的橫坐標為x₁=$\frac{π}{12}$，x₂=$\frac{7π}{12}$，則函數(shù)f（x）的最大值是6．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)圖象與y=n相鄰的兩交點的橫坐標的值列出關系式，表示出m，利用和差化積公式化簡后，再利用特殊角的三角函數(shù)值變形，求出m的值，確定出函數(shù)f（x）的解析式，從而求得它的最大值．

解答 解：根據(jù)題意得：msin$\frac{π}{12}$+3cos$\frac{π}{12}$=msin$\frac{7π}{12}$+3cos$\frac{7π}{12}$=n，
變形得：m=$\frac{3（cos\frac{7π}{12}-cos\frac{π}{12}）}{sin\frac{π}{12}-sin\frac{7π}{12}}$=$\frac{-6sin\frac{π}{3}sin\frac{π}{4}}{-2cos\frac{π}{3}sin\frac{π}{4}}$=3$\sqrt{3}$，
∴f（x）=3$\sqrt{3}$sinx+3cosx=6sin（x+$\frac{π}{6}$）．
故f（x）的最大值為6，
故答案為：6．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的最大值，屬于中檔題．