Question

13．若不等式2xlnx≥-x²+ax-3對x∈（0，+∞）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，4]．

Answer 1

分析 由已知可得a≤x+2lnx+$\frac{3}{x}$，x＞0，令y=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)求出x=1時，y取最小值4，由此可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵2xlnx≥-x²+ax-3對x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≤x+2lnx+$\frac{3}{x}$，x＞0，
令y=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，
則y′=1+$\frac{2}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}}$，
由y′=0，得x₁=-3，x₂=1，
當(dāng)x∈（0，1）時，y′＜0，函數(shù)y=x+2lnx+$\frac{3}{x}$為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，y′＞0，函數(shù)y=x+2lnx+$\frac{3}{x}$為增函數(shù)．
∴x=1時，y_min=1+0+3=4．
∴a≤4．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，4]．
故答案為：（-∞，4]．

點評 本題考查恒成立問題，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了分離變量法，是中檔題．