【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,b=
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)F1 , F2分別為橢圓的左、右焦點,A、B為橢圓的左、右頂點,P為橢圓C上的點,求證:以PF2為直徑的圓與以AB為直徑的圓相切;
(3)過左焦點F1作互相垂直的弦MN與GH,判斷MN的中點與GH的中點所在直線l是否過x軸上的定點,如果是,求出定點坐標(biāo),如果不是,說出理由.

【答案】
(1)解:橢圓離心率e= = = ,

由b= ,解得:a2=9,

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:


(2)證明:由(1)知c=2,F(xiàn)1(﹣2,0),F(xiàn)2(2,0),

連結(jié)PF1,設(shè)PF2中點Q

∵O為F1F2中點,Q為PF2中點

∴OQ∥PF1,OQ= PF1

∴OQ= PF1= (2a﹣PF2)=a﹣ PF2,

∴圓O與圓Q相切(內(nèi)切)


(3)解:1°當(dāng)直線MN、GH與坐標(biāo)軸不垂直時,

設(shè)MN方程為x=my﹣2,m∈R,M(x1,y1),N(x2,y2),

,整理得(5m2+9)y2﹣20my﹣25=0

∴y1+y2= ,則x1+x2= ,

∴MN中點S( ,

用﹣ 代S點坐標(biāo)中的m,可得

GH中點T(

設(shè)過x軸上的定點為(x0,0)

=

化簡得(14x2+18)m2+14x0+18=0,

∵m∈R,

∴14x0+18=0,即x0=﹣

∴過定點(﹣ ,0).

2°當(dāng)直線MN、GH分別與坐標(biāo)軸垂直時,中點分別為F1、O,

顯然F1O所在直線為y=0,也過(﹣ ,0),

綜上,直線l過定點(﹣ ,0).


【解析】(1)橢圓離心率e= = = ,即b= ,即可求得a,即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)由O為F1F2中點,Q為PF2中點,OQ∥PF1 , OQ= PF1 , 則OQ=a﹣ PF2 , 即可證明圓O與圓Q相切;(3)分類當(dāng)直線MN、GH與坐標(biāo)軸不垂直時,設(shè)直線方程,代入橢圓方程,利用韋達定理及中點坐標(biāo)公式即可求得MN中點S,GH中點T,直線的兩點式,整理即可求得x0;當(dāng)直線MN、GH分別與坐標(biāo)軸垂直時,中點分別為F1、O,顯然F1O所在直線為y=0,也過(﹣ ,0).

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(2)若成績不低于90分的學(xué)生就能獲獎,問所有參賽學(xué)生中獲獎的學(xué)生約為多少人?

分組

頻數(shù)

頻率

[60,70)

10

0.1

[70,80)

22

0.22

[80,90)

a

0.38

[90,100]

30

c

合計

100

d

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A.
B.
C.
D.

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