【題目】已知函數 ,且f(1)=1,f(﹣2)=4.
(1)求a、b的值;
(2)已知定點A(1,0),設點P(x,y)是函數y=f(x)(x<﹣1)圖象上的任意一點,求|AP|的最小值,并求此時點P的坐標;
(3)當x∈[1,2]時,不等式 恒成立,求實數m的取值范圍.
【答案】
(1)解:由f(1)=1,f(﹣2)=4.
得
解得:
(2)解:由(1) ,
所以 ,
令x+1=t,t<0,
則
=
因為x<﹣1,所以t<0,
所以,當 ,
所以 ,
即AP的最小值是 ,此時 ,
點P的坐標是 .
(3)解:問題即為 對x∈[1,2]恒成立,
也就是 對x∈[1,2]恒成立,
要使問題有意義,0<m<1或m>2.
法一:在0<m<1或m>2下,問題化為 對x∈[1,2]恒成立,
即 對x∈[1,2]恒成立,mx﹣m≤x2≤mx+m對x∈[1,2]恒成立,
①當x=1時, 或m>2,
②當x≠1時, 且 對x∈(1,2]恒成立,
對于 對x∈(1,2]恒成立,等價于 ,
令t=x+1,x∈(1,2],則x=t﹣1,t∈(2,3], ,t∈(2,3]遞增,
∴ , ,結合0<m<1或m>2,
∴m>2
對于 對x∈(1,2]恒成立,等價于
令t=x﹣1,x∈(1,2],則x=t+1,t∈(0,1],
,t∈(0,1]遞減,
∴ ,
∴m≤4,
∴0<m<1或2<m≤4,
綜上:2<m≤4(16分)
法二:問題即為 對x∈[1,2]恒成立,
也就是 對x∈[1,2]恒成立,
要使問題有意義,0<m<1或m>2.
故問題轉化為x|x﹣m|≤m對x∈[1,2]恒成立,
令g(x)=x|x﹣m|
①若0<m<1時,由于x∈[1,2],故g(x)=x(x﹣m)=x2﹣mx,g(x)在x∈[1,2]時單調遞增,
依題意g(2)≤m, ,舍去;
②若m>2,由于x∈[1,2],故 ,
考慮到 ,再分兩種情形:
(。 ,即2<m≤4,g(x)的最大值是 ,
依題意 ,即m≤4,
∴2<m≤4;
(ⅱ) ,即m>4,g(x)在x∈[1,2]時單調遞增,
故g(2)≤m,
∴2(m﹣2)≤m,
∴m≤4,舍去.
綜上可得,2<m≤4
【解析】(1)由f(1)=1,f(﹣2)=4,代入可方程,解方程即可求得關于a,b的解a,b;(2)由(1)可知 ,利用兩點間的距離個公式代入 ,結合x的范圍可求x+1=t<0,然后結合基本不等式式即可求解(3)問題即為 對x∈[1,2]恒成立,即 對x∈[1,2]恒成立,則0<m<1或m>2.法一:問題化為 對x∈[1,2]恒成立,mx﹣m≤x2≤mx+m對x∈[1,2]恒成立,從而可轉化為求解函數的最值,利用函數的單調性即可求解法二:問題即為 對x∈[1,2]恒成立,即 對x∈[1,2]恒成立,0<m<1或m>2.問題轉化為x|x﹣m|≤m對x∈[1,2]恒成立,令g(x)=x|x﹣m|,結合函數的性質可求
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知等比數列{an}的首項a1= ,公比q滿足q>0且q≠1,又已知a1 , 5a3 , 9a5成等差數列;
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)令bn=log3 ,記Tn= ,是否存在最大的整數m,使得對任意n∈N* , 均有Tn> 成立?若存在,求出m,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知圓C:(x﹣1)2+(y﹣1)2=2經過橢圓Γ: + =1(a>b>0)的右焦點F和上頂點B.
(1)求橢圓Γ的方程;
(2)過原點O的射線l與橢圓Γ在第一象限的交點為Q,與圓C的交點為P,M為OP的中點,求 的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】根據題意解答
(1)利用“五點法”畫出函數 在長度為一個周期的閉區(qū)間的簡圖.
(2)并說明該函數圖像可由y=sinx(x∈R)的圖像經過怎樣平移和伸縮變換得到的.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,b= .
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)F1 , F2分別為橢圓的左、右焦點,A、B為橢圓的左、右頂點,P為橢圓C上的點,求證:以PF2為直徑的圓與以AB為直徑的圓相切;
(3)過左焦點F1作互相垂直的弦MN與GH,判斷MN的中點與GH的中點所在直線l是否過x軸上的定點,如果是,求出定點坐標,如果不是,說出理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】一個盒子裝有六張卡片,上面分別寫著如下六個函數:
.
(Ⅰ)從中任意拿取張卡片,其中至少有一張卡片上寫著的函數為奇函數,在此條件下,求兩張卡片上寫著的函數相加得到的新函數為奇函數的概率;
(Ⅱ)現從盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一張寫有偶函數的卡片則停止抽取,否則繼續(xù)進行,求抽取次數的分布列和數學期望.
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