Question

8．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}中，a₅-a₁=15，a₄-a₂=6．
（1）求a_n、S_n；
（2）求證：S₇，S₁₄-S₇，S₂₁-S₁₄成等比數(shù)列；
（3）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，其前n項和為T_n，試比較T_n與2的大�。�

Answer 1

分析 （1）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，運用等比數(shù)列的通項，求得首項和公比，再由通項公式和求和公式即可求得；
（2）分別求得S₇，S₁₄，S₂₁，即可判斷（S₁₄-S₇）²=S₇（S₂₁-S₁₄），即可得到結論；
（3）分別求得c_n，再由等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到與2的大小．

解答 （1）解：設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
a₅-a₁=15，a₄-a₂=6，
即為a₁q⁴-a₁=15，a₁q³-a₁q=6，
解得a₁=1，q=2，或a₁=-16，q=$\frac{1}{2}$．
則a_n=2^n-1或a_n=-2^5-n，
均滿足單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}．
則S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，或S_n=$\frac{-16（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=-32+2^5-n．
（2）證明：若S_n=2ⁿ-1，則S₇=2⁷-1，
S₁₄=2¹⁴-1，S₂₁=2²¹-1，S₁₄-S₇=（2¹⁴-1）-（2⁷-1）=2⁷（2⁷-1），
S₂₁-S₁₄=（2²¹-1）-（2¹⁴-1）=2¹⁴（2⁷-1），
則有（S₁₄-S₇）²=S₇（S₂₁-S₁₄），
即為S₇，S₁₄-S₇，S₂₁-S₁₄成等比數(shù)列．
同理可得，S_n=-32+2^5-n．計算可得（S₁₄-S₇）²=S₇（S₂₁-S₁₄），
即為S₇，S₁₄-S₇，S₂₁-S₁₄成等比數(shù)列．
（3）若a_n=2^n-1，則c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$=2^1-n，
即有T_n=$\frac{1-{2}^{-n}}{1-{2}^{-1}}$=2（1-2^-n）＜2，
若a_n=-2^5-n，則c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$=-2^n-5，
即有T_n=$\frac{-{2}^{-4}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=-2^-4（2ⁿ-1）＜2^-4＜2．
故有T_n＜2．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項和求和公式，同時考查數(shù)列遞增的概念和等比數(shù)列的性質，以及數(shù)列前n項和的性質，屬于中檔題．