Question

16．已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=4，n≥3時，（n-1）⁴a_n=（n²-2n）²a_n-1，求a_n．

Answer 1

分析 （n-1）⁴a_n=（n²-2n）²a_n-1，n≥3時，可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$（\frac{n}{n-1}）^{2}×（\frac{n-2}{n-1}）^{2}$，利用“累乘求積”即可得出．

解答 解：∵（n-1）⁴a_n=（n²-2n）²a_n-1，n≥3時，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$（\frac{n}{n-1}）^{2}×（\frac{n-2}{n-1}）^{2}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•a₂
=$（\frac{n}{n-1}）^{2}×（\frac{n-2}{n-1}）^{2}$•$\frac{（n-1）^{2}}{（n-2）^{2}}•\frac{（n-3）^{2}}{（n-2）^{2}}$•…$（\frac{4}{3}）^{2}×（\frac{2}{3}）^{2}$•$（\frac{3}{2}）^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}$×4
=$\frac{{n}^{2}}{（n-1）^{2}}$×$\frac{1}{4}×4$
=$\frac{{n}^{2}}{（n-1）^{2}}$，
當(dāng)n=2時上式也成立，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{{n}^{2}}{（n-1）^{2}}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、“累乘求積”、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．