Question

16．在滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2≤0}\\{3x+y-3≥0}\\{x+y-7≤0}\end{array}\right.$的區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)M（x，y），則點(diǎn)M（x，y）滿足不等式（x-1）²+y²＜1的概率為（　　）

• A． $\frac{π}{60}$
• B． $\frac{π}{120}$
• C． 1-$\frac{π}{60}$
• D． 1-$\frac{π}{120}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，求出可行域的面積，再求出可行域落在圓（x-1）²+y²=1內(nèi)的扇形面積，然后利用幾何概型概率計(jì)算公式求得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2≤0}\\{3x+y-3≥0}\\{x+y-7≤0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，
由圖可得：A（1，0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2=0}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$，解得：B（3，4），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-3=0}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$，解得：C（-2，9），
∴AB=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-0）^{2}}=2\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（9-0）^{2}}=3\sqrt{10}$，
tanA=$\frac{{k}_{AC}-{k}_{AB}}{1+{k}_{AC}•{k}_{AB}}=\frac{-3-2}{1+（-3）×2}=1$，則A=$\frac{π}{4}$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×3\sqrt{10}×sin\frac{π}{4}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×3\sqrt{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=15．
可行域落在圓（x-1）²+y²=1內(nèi)的扇形面積為$\frac{1}{2}×{1}^{2}×\frac{π}{4}=\frac{π}{8}$．
∴點(diǎn)M（x，y）滿足不等式（x-1）²+y²＜1的概率為$\frac{\frac{π}{8}}{15}=\frac{π}{120}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查幾何概型概率的求法，綜合性強(qiáng)，屬中高檔題．