Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²-ax+2a-1，g（x）=2x+3．
（1）對(duì)任意x∈[3，6]有f（x）＞g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若對(duì)任意x₁，x₂滿足x₁∈[3，6]，x₂∈[3，6]有f（x₁）＞g（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若存在x₁，x₂滿足x₁∈[3，6]，x₂∈[3，6]有f（x₁）＞g（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得x²-ax+2a-1-2x-3＞0，即有a＜$\frac{{x}^{2}-2x-4}{x-2}$的最小值，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，可得最小值；
（2）求出g（x）在[3，6]的最大值，即為f（x）＞15在[3，6]恒成立，即有a＜$\frac{{x}^{2}-16}{x-2}$的最小值，運(yùn)用單調(diào)性可得最小值；
（3）求出g（x）在[3，6]的最小值，即為f（x）＞9在[3，6]恒成立，即有a＜$\frac{{x}^{2}-10}{x-2}$的最大值，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，可得最大值．

解答 解：（1）任意x∈[3，6]有f（x）＞g（x）恒成立，即為
x²-ax+2a-1-2x-3＞0，即有a＜$\frac{{x}^{2}-2x-4}{x-2}$的最小值，
由$\frac{{x}^{2}-2x-4}{x-2}$=（x-2）-$\frac{4}{x-2}$+2在[3，6]遞增，
即有x=3取得最小值，且為-1，
則a＜-1；
（2）由g（x）=2x+3在[3，6]遞增，即有g(shù)（6）最大，且為15，
由題意可得f（x）＞15在[3，6]恒成立，即有a＜$\frac{{x}^{2}-16}{x-2}$的最小值，
由$\frac{{x}^{2}-16}{x-2}$=（x-2）-$\frac{12}{x-2}$+4在[3，6]遞增，
即有x=3取得最小值，且為-7，
則a＜-7；
（3）由g（x）=2x+3在[3，6]遞增，即有g(shù)（3）最小，且為9，
由題意可得f（x）＞9在[3，6]成立，即有a＜$\frac{{x}^{2}-10}{x-2}$的最大值，
由$\frac{{x}^{2}-10}{x-2}$=（x-2）-$\frac{6}{x-2}$+4在[3，6]遞增，
即有x=6取得最大值，且為$\frac{13}{2}$，
則a＜$\frac{13}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立和存在性問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．