Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x）具有下列性質(zhì)：①f（-x）-f（x）=0；②f（x+1）•f（x）=1；③y=f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，則對于下述命題：
①y=f（x）為周期函數(shù)且最小正周期為4；
②y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱且對稱軸只有1條；
③y=f（x）在[3，4]上為減函數(shù)．
正確命題的個數(shù)為（　�。�

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：由已知函數(shù)f（x）具有的性質(zhì)①可知函數(shù)是定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)；由性質(zhì)②可求得函數(shù)的最小正周期；性質(zhì)③結(jié)合①②可得函數(shù)f（x）在[3，4]上為減函數(shù)．然后逐一核對三個命題得答案．

解答： 解：定義在R上的函數(shù)y=f（x）具有性質(zhì)：f（-x）-f（x）=0，說明函數(shù)f（x）是實數(shù)集上的偶函數(shù)；
具有性質(zhì)f（x+1）•f（x）=1，則f(x+2)=f(x+1+1)=

1

f(x+1)

=

1

1 f(x)

=f(x)，說明函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)；
具有性質(zhì)y=f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)及最小正周期為2，可得函數(shù)f（x）在[3，4]上為減函數(shù)．
綜上，可判斷y=f（x）為周期函數(shù)且最小正周期為2，命題①錯誤；
y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱且對稱軸有無數(shù)條，命題②錯誤；
y=f（x）在[3，4]上為減函數(shù)，命題③正確．
∴正確命題的個數(shù)是1個．
故選：B．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的性質(zhì)，訓(xùn)練了學(xué)生靈活分析問題和解決問題的能力，是中檔題．