Question

【題目】如圖，已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，左準(zhǔn)線：和右準(zhǔn)線：分別與軸相交于、兩點(diǎn)，且、恰好為線段的三等分點(diǎn)．

（1）求橢圓的離心率；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且滿足，當(dāng)△的面積最大時(shí)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)、恰好為線段的三等分點(diǎn)，得，即，解得離心率（2）根據(jù)離心率可設(shè)橢圓方程為．利用OD為定值表示三角形面積，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示面積，分離利用基本不等式求最值，確定，最后根據(jù)得，求出，解出

試題解析：（1）焦點(diǎn)，右準(zhǔn)線：，由題知，

即，即，解得．

（2）由（1）知，得，，可設(shè)橢圓方程為．

設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程有，，

因?yàn)橹本�與橢圓相交，所以，

由韋達(dá)定理得，，又，所以，

得到，，，得到，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，代入滿足w，

所以所求橢圓方程為．