Question

設(shè)兩圓C₁：（x-

2

）²+y²=1和C₂：x²+y²+2

2

x=0的圓心分別為C₁、C₂，G₁、G₂分別是圓C₁、C₂上的點，M是動點，且|MC₁|+|MC₂|=4
（1）求動點M的軌跡L的方程；
（2）設(shè)軌跡H與y軸的一個交點為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點B關(guān)于直線l的對稱點落在軌跡L上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由MC₁|+|MC₂|=4＞|C₁C₂|，可得動點M的軌跡是以C₁、C₂為焦點的橢圓，且2a=4，即可求出動點M的軌跡L的方程；
（2）求出B關(guān)于直線l的對稱點，代入橢圓方程，即可求出直線l的方程．

解答： 解：（1）由題意，C₁（

2

，0），C₂（-

2

，0），則
∵|MC₁|+|MC₂|=4＞|C₁C₂|，
∴動點M的軌跡是以C₁、C₂為焦點的橢圓，且2a=4，
∴a=2，b=

2

，
∴動點M的軌跡L的方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）B（0，-

2

），點B關(guān)于直線l的對稱點為（x，y），則

y+ 2 x =-1 y- 2 2 = x 2 +m

∴x=-

2

-m，y=m，
代入

x2

4

+

y2

2

=1，可得

(- 2 -m)2

4

+

m2

2

=1，
∴m²+

2

m-1=0，
∴m=

- 2 ± 6

2

，
∴直線l：y=x+

- 2 ± 6

2

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查橢圓的方程，考查點關(guān)于直線的對稱點的求法，屬于中檔題．