Question

已知函數(shù)f（x）=ax-bxlnx，其圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，1），且在點(diǎn)（e，f（e））處的切線斜率為3（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

對(duì)任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）證明：2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n-1）²（n∈N^*，n＞1）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，1），且在點(diǎn)（e，f（e））處的切線斜率為3，求出f（x）導(dǎo)函數(shù)，然后代入求值；
（2）求出f（x）導(dǎo)函數(shù)后，構(gòu)造設(shè)h（x）=x-2-lnx，判斷h（x）的單調(diào)性，求出最值；
（3）要證明：2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n-1）²（n∈N^*，n＞1），只要求出x+xlnx＞3x-3，問題就能解決．

解答： 解：（1）∵f（1）=1，
∴a=1，
∵f（x）=x-bxlnx，
∴f'（x）=1-b（1+lnx），
依題意f'（e）=1-b（1+lne）=3，
∴b=-1，
（2）由（1）知：f（x）=x+xlnx
當(dāng)x＞1時(shí)，設(shè)g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，
則g′(x)=

x-2-lnx

(x-1)2

設(shè)h（x）=x-2-lnx，
則h′(x)=1-

1

x

＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)
∵h(yuǎn)（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
∴存在x₀∈（3，4），使h（x₀）=0，
當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，h（x）＜0，g'（x）＜0，即g（x）在（1，x₀）上為減函數(shù)；
同理g（x）在（x₀，+∞）上為增函數(shù)，從而g（x）的最小值為g(x0)=

x0+x0lnx0

x0-1

=x0，
∴k＜x₀∈（3，4），k的最大值為3，
（3）由（2）知，當(dāng)x＞1時(shí)，

f(x)

x-1

＞3，
∴f（x）＞3x-3，
即x+xlnx＞3x-3，
xlnx＞2x-3
∴2ln2+3ln3+…+nlnn＞（2×2-3）+（2×3-3）+…+（2n-3）=2（2+3+…+n）-3（n-1）=2×

(n-1)

2

(2+n)-3n+3=n²-2n+1=（n-1）²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及根的存在性定理的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)．