若M，A，B三點(diǎn)不共線，且存在實(shí)數(shù)λ1，λ2，使
MC
=λ1
MA
+λ2
MB
，求證：“C為A，B的中點(diǎn)”的充要條件是“λ1=λ2=
1
2
”
考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷
專題：證明題,簡(jiǎn)易邏輯
分析：充要性證明一般分充分性與必要性分開證明，由
MC
=
1
2
MA
+
1
2
MB
可推出
CA
+
CB
=0，由C為A，B的中點(diǎn)可推出
MC
=
1
2
MA
+
1
2
MB
．
解答： 解：充分性：∵λ1=λ2=
1
2
，
∴
MC
=
1
2
MA
+
1
2
MB
，
即
1
2
（
MA
-
MC
）+
1
2
（
MB
-
MC
）=0，
即
CA
+
CB
=0，
∴C為A，B的中點(diǎn)；
必要性：∵C為A，B的中點(diǎn)，
∴
CA
+
CB
=0，
∴
1
2
（
MA
-
MC
）+
1
2
（
MB
-
MC
）=0，
∴
MC
=
1
2
MA
+
1
2
MB
，
又∵M(jìn)，A，B三點(diǎn)不共線，
∴
MA
，
MB
是平面向量的一組基底，
∴λ1=λ2=
1
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了充要性的證明，充要性證明一般分充分性與必要性分開證明；同時(shí)考查了向量的化簡(jiǎn)，由
CA
+
CB
=0可知C為A，B的中點(diǎn)，由
MC
=
1
2
MA
+
1
2
MB
，
MC
=λ1
MA
+λ2
MB
；由平面向量基本定理可知λ1=λ2=
1
2
．屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

等比數(shù)列{an}中，公比q=4，且前3項(xiàng)之和是21，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|2x-1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），則下列結(jié)論中成立的是（　�。�
A、a＜0，b＜0，c＜0
B、a＜0，b≥0，c＞0
C、2-a＜2c
D、2a+2c＜2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)P為平面ABCD外一點(diǎn)，PD⊥AD，PD=AD=2，∠PDC=60°，則四棱錐P-ABCD的體積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

從10個(gè)學(xué)生中選3人參加3項(xiàng)比賽，且每人只參加一項(xiàng)比賽，共有多少不同選法？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列
3
2
，
9
4
，
25
8
，
65
16
，…，
n•2n+1
2n
的前n項(xiàng)和為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-2x+alnx+1有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并討論f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：f（x2）＞
1-2ln2
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n都滿足 f（m+n）=f（m）+f（n）-1，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，則不等式f（2x-1）+f（
1
x
）＜2的解集是（　�。�
A、（-∞，-
1
2
）∪（0，1）
B、（-∞，0）
C、（0，+∞）
D、（-∞，-
1
2
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ），（ω＞0，φ∈（0，
π
2
））的部分圖象如圖所示，其中點(diǎn)P是圖象的最高點(diǎn)，則f（
π
2
）=
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案