Question

6．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{a}{2}$x-1）ln$\frac{a}{x}$（a＞0）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為$\frac{1}{2}$，求a的值；
（2）若f（x）≤0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得a=1；
（2）由題意可得（$\frac{a}{2}$x-1）ln$\frac{a}{x}$≤0（a＞0），即（$\frac{a}{2}$x-1）（lna-lnx）≤0（a＞0）設(shè)h（x）=（$\frac{a}{2}$x-1）（lna-lnx），求出導(dǎo)數(shù)，由h′（a）≤0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）f（x）=（$\frac{a}{2}$x-1）ln$\frac{a}{x}$的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=$\frac{a}{2}$ln$\frac{a}{x}$+（$\frac{a}{2}$x-1）（-$\frac{1}{x}$），
可得在x=1處的切線斜率為$\frac{a}{2}$lna+1-$\frac{a}{2}$=$\frac{1}{2}$，
即為a-alna=1，
由g（a）=a-alna的導(dǎo)數(shù)為g′（a）=1-（1+lna）=-lna，
當(dāng)a＞1時(shí)，g（a）遞減；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（a）遞增．
可得a=1為極大值點(diǎn)，即有g(shù)（1）=1，
解得a=1；
（2）若f（x）≤0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，
即為（$\frac{a}{2}$x-1）ln$\frac{a}{x}$≤0（a＞0），
即（$\frac{a}{2}$x-1）（lna-lnx）≤0（a＞0）
設(shè)h（x）=（$\frac{a}{2}$x-1）（lna-lnx），
h′（x）=$\frac{a}{2}$（lna-lnx）+（$\frac{a}{2}$x-1）（-$\frac{1}{x}$）
由h（a）=0，可得h′（a）≤0，
即有$\frac{a}{2}$（lna-lna）+（$\frac{{a}^{2}}{2}$-1）（-$\frac{1}{a}$）≤0，
解得a≥$\sqrt{2}$．
可得a的范圍是[$\sqrt{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，極值，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．