Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=3a_n+2ⁿ（n∈N^*），且a₁=1，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n為S_n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）-2（2ⁿ-1）．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3{a}_{n}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{1}{2}$，從而可得{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1}是以$\frac{3}{2}$，以$\frac{3}{2}$為首項(xiàng)的等比數(shù)列；從而可得a_n=3ⁿ-2ⁿ，從而求前n項(xiàng)和．

解答 解：∵a_n+1=3a_n+2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3{a}_{n}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+1=$\frac{3}{2}$（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1），
∴{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1}是以$\frac{3}{2}$，以$\frac{3}{2}$為首項(xiàng)的等比數(shù)列；
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1=$\frac{{3}^{n}}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{3}^{n}}{{2}^{n}}$-1，
∴a_n=3ⁿ-2ⁿ，
∴S_n=3¹-2¹+3²-2²+3³-2³+…+3ⁿ-2ⁿ
=（3¹+3²+3³+…+3ⁿ）-（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）-2（2ⁿ-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造數(shù)列的應(yīng)用及拆項(xiàng)求和法的應(yīng)用．