Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx在點(diǎn)x₀處取得極大值5，其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)y=f′（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），（2，0），如圖所示，求x₀的值和函數(shù)（x）的極小值．

Answer 1

分析 觀察圖象滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極小值，求出x₀的值；由函數(shù)的圖象知函數(shù)在x=2處取得極小值．

解答 解：由圖象可知，在（-∞，1）上f′（x）＞0，在（1，2）上f′（x）＜0．
在（2，+∞）上f′（x）＞0．
故f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上遞增，在（1，2）上遞減．
因此f（x）在x=1處取得極大值，所以x₀=1．
f′（x）=3ax²+2bx+c，
由f′（1）=0，f′（2）=0，f（1）=5，
得$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b+c=0}\\{12a+4b+c=0}\\{a+b+c=5}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=-9，c=12；
可得函數(shù)在x=2處取得極小值f（2）=2×2³-9×2²+24=4．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性，以及觀察圖形的能力，屬于中檔題．