Question

給出下列5個(gè)命題：
①函數(shù)y=|sin（2x-

π

12

）|的最小正周期

π

2

是；
②直線x=

7π

12

是函數(shù)y=2sin（3x-

π

4

）的一條對(duì)稱軸；
③函數(shù)y=

1

2

sin2x-x有三個(gè)零點(diǎn)；
④若sinα+cosα=-

1

5

，且α為第二象限角，則tanα=

3

4

；
⑤函數(shù)y=cos（2x-3）在區(qū)間（

2

3

，3）上單調(diào)遞減．
其中正確的是

 

（填出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),推理和證明

分析：對(duì)于①根據(jù)三角函數(shù)的周期公式得以及絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)即可．
對(duì)于②可以利用函數(shù)的對(duì)稱軸公式即得，也可以直接驗(yàn)證
對(duì)于③根據(jù)數(shù)形結(jié)合判斷結(jié)論錯(cuò)誤，然后用導(dǎo)數(shù)證明．
對(duì)于④由sinα+cosα=-

1

5

，求出sinα-cosα=

7

5

，求出sinα和cosα即可．
對(duì)于⑤可以證明 函數(shù)y=cos（2x-3）在區(qū)間（

2

3

，

3

2

）上遞增．

解答： 解：對(duì)于①，∵y=sin（2x-

π

12

）的周期T=

2π

2

=π，∴y=|sin（2x-

π

12

）|的周期為

π

2

，故結(jié)論正確．
對(duì)于②，∵y=2sin（3x-

π

4

），由3x-

π

4

=kπ+

π

2

，得3x=kπ+

3π

4

，∴x=

kπ

3

+

π

4

，令k=1，得x=

5π

12

，故結(jié)論正確．
對(duì)于③，0是奇函數(shù)y=

1

2

sin2x-x的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x＞0時(shí)，y′=cos2x-1≤0恒成立，則y=

1

2

sin2x-x在（0，+∞）是遞減函數(shù)，∴y＜0恒成立，∴y=

1

2

sin2x-x在（0，+∞）上沒有零點(diǎn)，同理在（-∞，0）同樣沒有零點(diǎn)．故結(jié)論不正確．
對(duì)于④若sinα+cosα=-

1

5

，∴1+2sinαcosα=

1

25

，∴2sinαcosα=-

24

25

又α為第二象限角，sinα-cosα＞0，∴sinα-cosα=

(sinα-cosα)2

=

1+ 24 25

=

7

5

，∴sinα=

3

5

，cosα=-

4

5

，∴tanα=

3

4

，故結(jié)論正確；
對(duì)于⑤，∵x∈（

2

3

，3），∴2x-3∈（-

5

3

，3），由2x-3∈（-

5

3

，0），得x∈（

2

3

，

3

2

），故函數(shù)在（

2

3

，

3

2

）是遞增，故結(jié)論不正確．
綜上，①②④是正確的．
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng)：本題以三角函數(shù)性質(zhì)為載體考查了命題的推導(dǎo)和證明，屬于基礎(chǔ)題．